ชุดE-LEARNING วิชาระบบดิจิตอล: การเขียนสมการ วงจรลอจิก และตารางความจริง

การนำลอจิกเกตต่อเข้าด้วยกันเป็นวงจร อย่างเป็นระบบได้นั้นจะต้องเข้าใจหลักการเขียนสมการ จากตารางความจริง การเขียนตารางความจริงจากสมการ ความสัมพันธ์ของสมการกับวงจรลอจิก
การเขียนสมการจากตารางความจริง การเขียนสมการจากตารางความจริงสามารถเขียนได้ 2 แบบ คือ แบบผลบวกของผลคูณ หรือแบบมินเทอม (Sum of Product Forms or Minterm Forms) และแบบผลคูณของผลบวก หรือแบบแม็กเทอม (Product of Sum Forms or Maxterm Forms)
1.การเขียนสมการแบบผลบวกของผลคูณ
สมการแบบผลบวกของผลคูณ คือสมการที่ประกอบด้วยเทอมที่ตัวแปรในเทอมนั้นแอนด์กัน โดยมีหลักการดังนี้ ถ้าตัวแปรอินพุตในแถวนั้นเป็นลอจิก “1” ให้เขียนตัวแปรนั้นใน รูปปกติ แต่ถ้าตัวแปรอินพุตในแถวนั้นเป็นลอจิก “0” ก็ให้เขียนตัวแปรนั้นในรูปของคอมพลีเมนต์ ดังแสดงในตารางที่ 9.1 และ 9.2 ในการเขียนสมการแบบผลบวกของผลคูณก็คือการนำเทอม ที่แอนด์กันในแถวที่เอาต์พุตมีค่าเป็นลอจิก “1” มาออร์กันดังตารางที่ 1
2. การเขียนสมการแบบผลคูณของผลบวก
สมการแบบผลคูณของผลบวก คือสมการที่ประกอบด้วยเทอมที่ตัวแปรในเทอมนั้นออร์กัน โดยมีหลักการดังนี้ ถ้าตัวแปรอินพุตในแถวนั้นเป็นลอจิก “0” ให้เขียนตัวแปรนั้นในรูปปกติ แต่ถ้าตัวแปรอินพุตในแถวนั้นเป็นลอจิก “1” ให้เขียนตัวแปรนั้นในรูปของคอมพลีเมนต์ ดังแสดงใน ตารางที่ 9.1 และ 9.2 ในการเขียนสมการลอจิกแบบผลคูณของผลบวก คือการนำเทอมที่ออร์กันในแถวที่เอาต์พุตมีค่าเป็นลอจิก “0” มาแอนด์กันดังตารางที่ 2
ตารางที่ 1 ตารางแบบมินเทอมและแม๊กเทอมของตัวแปร 3 ตัว

ลำดับที่่	INPUT	มินเทอม	แม๊กเทอม
A	B	C
0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	1	0
3	0	1	1
4	1	0	0
5	1	0	1
6	1	1	0
7	1	1	1

ตารางที่ 2 ตารางแบบมินเทอมและแม๊กเทอมของตัวแปร 4 ตัว

ลำดับที่	อินพุต	มินเทอม	แม๊กเทอม
A	B	C	D
0	0	0	0	0
1	0	0	0	1
2	0	0	1	0
3	0	0	1	1
4	0	1	0	0
5	0	1	0	1
6	0	1	1	0
7	0	1	1	1
8	1	0	0	0
9	1	0	0	1
10	1	0	1	0
11	1	0	1	1
12	1	1	0	0
13	1	1	0	1
14	1	1	1	0
15	1	1	1	1

การลดรูปสมการคณิตศาสตร์ทางลอจิก
การลดรูปสมการคณิตศาสตร์ทางลอจิก เป็นกระบวนการที่ทำให้สมการเหลือตัวแปรน้อยที่สุด เมื่อนำสมการที่ลดรูปนั้นไปประกอบเป็นวงจรก็จะได้วงจรที่ใช้จำนวนอุปกรณ์น้อย และสามารถทำงานได้ตามฟังก์ชั่นที่ต้องการ วิธีการที่นิยมใช้อยู่ในปัจจุบันมี 2 วิธีคือ การลดรูปสมการโดยใช้พีชคณิตบูลีนและการลดรูปสมการโดยใช้แผนผังคาร์โนห์
พีชคณิตบูลีน
พีชคณิตบูลีนเป็นการศึกษาการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในสองสภาวะ คือ 0 และ 1 ประกอบด้วยคุณสมบัติเบื้องต้นและทฤษฎี ดังต่อไปนี้
10.1.1    คุณสมบัติเบื้องต้นเกี่ยวกับการกระทำบนตัวคงที่
1) 0 × 0      =      0
2)     0 ×X =      0
3)    1 × 1        =      1
5)    0 + 1      =      1
6) 1 + 0      =      1
7)

= 1
8)

=      0
10.1.2    คุณสมบัติเบื้องต้นเกี่ยวกับการกระทำบนตัวแปร 1 ตัว
1)     A + 0           =        0 + A    =        A
2)     A + 1           =        1 + A    =        1
3)     A . 0            =        0 . A   =        0
4)     A . 1            =        1 . A   =        A
                     5)     A + A           =        A
                     6)     A . A            =        A
                     7)     A +

= 1
8) A .

= 0
9)

                  =       A
10.1.3    คุณสมบัติเกี่ยวกับการกระทำบนตัวแปรมากกว่า 1 ตัว
1)     A + B            =        B + A
                     2)     A . B             =        B . A
                     3)     (A + B) + C =        A + (B + C)    =        A + B + C
                     4)     (A . B) . C     =        A . (B . C)      =        A . B . C
                     5)     A . B +A . C   =        A . (B + C)
                     6)     (A + B) . (A + C)      =        A + (B . C)
7)         A + A . B      =        A B + B.D = B
                     8)     A . (A + B)          =        A B.(B+C) = B
                     9)     A +

.B = A + B

+ A.B =

+B
10) A . (

+ B) = A . B

. (A + B) =

. B
11) A.B +

.C + B.C = A.B +

.C
12) (A + B).(

+ C).(B + C) = (A + B).(

+ C)
10.2 การลดรูปสมการโดยใช้พีชคณิตบูลีน
การลดรูปสมการ โดยใช้พีชคณิตบูลีนเป็นกระบวนการในการเลือกใช้ทฤษฎี มาลดรูปสมการเพื่อทำให้เหลือตัวแปรในสมการน้อยที่สุด เมื่อนำสมการที่ลดรูปได้นั้นไปประกอบเป็นวงจร ก็จะได้ วงจรที่ใช้ลอจิกเกตน้อยที่สุด ที่ยังทำให้วงจรยังคงมีฟังก์ชั่นการทำงานเหมือนเดิม
ตัวอย่างที่ 10.1 จากวงจรที่กำหนดให้ จงเขียนสมการบูลีน ทำการลดรูปสมการให้เหลือตัวแปรน้อย ที่สุด แล้วเขียนวงจรลอจิกจากสมการที่ได้

รูปที่ 10.1 วงจรลอจิกตัวอย่างที่ 10.1
วิธีทำ
สมการบูลีน            Y       =    (A + B) . (B + C)
                                                   =        (B + A) . (B + C)
                                                   =      B+AC
จากสมการที่ได้นำมาเขียนวงจร

รูปที่ 10.2 วงจรที่ได้จากการลดรูปสมการ

ตัวอย่างที่ 10.2   จากวงจรที่กำหนดให้ จงเขียนสมการบูลีน ทำการลดรูปให้เหลือตัวแปรน้อยที่สุด แล้วเขียนวงจรลอจิก จากสมการที่ได้
รูปที่ 10.3 วงจรลอจิกตัวอย่างที่ 10.2
วิธีทำ
สมการบูลีน         Y     =      A + [(A + B) . BC]
                                              =    A + ABC + BBC A+ABC = A
                                              =    A + BC
จากสมการที่ได้นำมาเขียนวงจร

รูปที่ 10.4 วงจรที่ได้จากการลดรูปสมการ
10.3 ทฤษฎี เดอ มอร์ แกน (De Morgan’s Theorem)
ทฤษฎี เดอ มอร์ แกน เป็นทฤษฎีที่ใช้ช่วยในการลดรูปสมการ ซึ่งประกอบด้วย

และ

เมื่อเขียนเป็นวงจรลอจิกจะได้เป็น

รูปที่ 10.5 วงจรลอจิกของสมการ

รูปที่ 10.6 วงจรลอจิกของสมการ

เพื่อเป็นการพิสูจน์ว่าทฤษฎีของ เดอ มอร์ แกน กล่าวไว้ถูกต้อง สามารถพิสูจน์ได้โดยการสร้างตารางความจริงของสมการ ดังนี้
ตารางที่ 10.1 ตารางความจริงของ

และ

อินพุต	เอาต์พุต
A	B
0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	0	0
1	0	0	0	1	0
1	1	0	0	0	0

ตารางที่ 10.2 ตารางความจริงของ

และ

อินพุต	เอาต์พุต
A	B
0	0	1	1	1	1
0	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1
1	1	0	0	0	0

จากตารางที่ 10.1 จะเห็นว่าค่าลอจิกที่เอาต์พุตของสมการ

และ

จะมีค่าเท่ากัน และจากตารางที่ 10.2 ค่าลอจิกที่เอาต์พุตของสมการ

และ

ก็มีค่าเท่ากัน แสดงว่า ทฤษฎี เดอ มอร์ แกน ให้ค่าที่ถูกต้อง
ตัวอย่างที่ 10.3 จากวงจรที่กำหนดให้ จงเขียนสมการที่จุด Y แล้วลดรูปสมการให้เหลือตัวแปรน้อย ที่สุด จากนั้นเขียนวงจรลอจิกจากสมการที่ลดรูปได้

รูปที่ 10.7 วงจรลอจิกตัวอย่างที่ 10.3
วิธีทำ
สมการที่จุด Y =

จากสมการที่ได้นำมาเขียนวงจร

รูปที่ 10.8 วงจรที่ได้จากการลดรูปสมการตัวอย่างที่ 10.3 เมื่อเปลี่ยนรูปวงจรแล้ว
1 การลดรูปสมการโดยใช้แผนผังคาร์โนห์ (Karnaugh Map)
การลดรูปสมการโดยใช้แผนผังคาร์โนห์เป็นการลดรูปสมการอีกวิธีหนึ่ง ซึ่งจะทำให้ได้สมการที่สั้นลง โดยเขียนสมการให้อยู่ในรูปของผลบวกของผลคูณ หรืออยู่ในรูปผลคูณของผลบวกก็ได้
ลักษณะของแผนผังคาร์โนห์มีลักษณะเป็นตารางสี่เหลี่ยมที่มีจำนวนช่องของตารางแปรผันตามจำนวนของตัวแปร เช่นถ้ามีตัวแปร 2 ตัว ก็จะมีช่องของตาราง 4 ช่อง (2²=4) ถ้ามีตัวแปร 3 ตัว ก็จะมี 8 ช่อง (2³=8) หรือถ้ามีตัวแปร 4 ตัว ก็จะมี 16 ช่อง (2⁴=16) การลดรูปสมการโดยใช้แผนผังคาร์โนห์สามารถลดรูปสมการที่มีตัวแปร 2,3,4,5 หรือ 6 ตัวแปร โดยทั่วไปมักจะใช้ลดรูปสมการที่มีตัวแปร ไม่เกิน 4 ตัว

1.1 ลักษณะของแผนผังคาร์โนห์

10.1.1.1 แผนผังคาร์โนห์ชนิด 2 ตัวแปร
แผนผังคาร์โนห์ชนิด 2 ตัวแปร จะประกอบด้วยช่องซึ่งใช้สำหรับแทนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับตัวแปรจำนวน 4 ช่อง ดังรูปที่ 10.9

(ก) (ข)

                                                                     (ค)
รูปที่ 10.9 แผนผังคาร์โนห์ชนิด 2 ตัวแปร
                                                       (ก) จำนวนช่องของตาราง
                                                       (ข) ค่าของตัวแปรแบบมินเทอม
                                                       (ค) ค่าของตัวแปรแบบแม๊กเทอม

1.2    แผนผังคาร์โนห์ชนิด 3 ตัวแปร
แผนผังคาร์โนห์ชนิด 3 ตัวแปรจะประกอบด้วยช่องซึ่งใช้สำหรับแทนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับตัวแปรจำนวน 8 ช่อง (2³= 8) ดังรูปที่ 10.10

(ก)
รูปที่ 10.10 (ก) (ข) แผนผังคาร์โนห์ ชนิด 3 ตัวแปร
1.3 แผนผังคาร์โนห์ชนิด 4 ตัวแปร
แผนผังคาร์โนห์ชนิด 4 ตัวแปรจะประกอบด้วยช่องซึ่งใช้สำหรับแทนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับตัวแปรจำนวน 16 ช่อง ดังรูปที่ 10.11

รูปที่ 10.11 แผนผังคาร์โนห์ชนิด 4 ตัวแปร
ตัวเลขที่กำกับด้านบนและด้านข้างของตัวแปร A,B หรือ C,D จะเป็นรหัส Gray code ซึ่งมีค่าเป็น 0 (00) , 1 (01) , 2 (11) และ 3 (10) ตามลำดับ ดังตารางที่ 10.3
ตารางที่ 10.3 รหัส Gray code ของเลขไบนารี 2 หลัก

Decimal	0	1	2	3
Binary code	00	01	10	11
Gray code	00	01	11	10

1.3.1 ขั้นตอนการลดรูปสมการโดยใช้แผนผังคาร์โนห์
การลดรูปสมการโดยใช้แผนผังคาร์โนห์มีขั้นตอนดังต่อไปนี้
                     1.ในกรณีเป็นสมการมินเทอมให้ใส่ลอจิก “1” ลงในช่องของแผนผังคาร์โนห์ตามค่าของตัวแปรในแต่ละเทอมของสมการ
                      2.ในกรณีเป็นสมการแม๊กเทอมให้ใส่ลอจิก “0” ลงในช่องของแผนผังคาร์โนห์ตามค่าของตัวแปรในแต่ละเทอมของสมการ
3. จับคู่และวงรอบตัวแปรที่เป็นลอจิก “1” ที่อยู่ติดกันในกรณีที่พิจารณาแบบมินเทอม หรือวงรอบตัวแปรที่เป็นลอจิก “0” ที่อยู่ติดกัน ในกรณีที่พิจารณาแบบแม๊กเทอม โดยพิจารณาวงรอบตัวแปรที่อยู่ติดกันจำนวน 16,8,4,2,1 ตัวตามลำดับ หมายความว่าถ้าลอจิก “1” หรือลอจิก “0” อยู่ ติดกัน ถ้าอยู่ติดกัน 16 ตัว ก็ให้วง 16 ตัว ถ้าอยู่ติดกัน 8 ตัวก็ให้วง 8 ตัว ตามลำดับ และถ้าวงรอบได้ 8 ตัว ก็ไม่ควรวงรอบ 4 ตัว 2 ครั้ง เพราะจะทำให้สมการที่ได้จะไม่ใช่สมการที่เหลือตัวแปรน้อยที่สุด
                     4. ช่องที่ถูกวงรอบไปแล้ว สามารถนำไปจับคู่เพื่อวงรอบร่วมกับตัวอื่นได้อีก
                     5. เมื่อวงรอบได้แล้วให้พิจารณาว่าจะได้ตัวแปรอะไรสำหรับวงนั้น โดยถือหลักว่าตัวแปรที่เหลืออยู่ก็คือตัวแปรที่ไม่เปลี่ยนสภาวะลอจิกเลยในทุก ๆ ช่องภายในวงรอบนั้น แต่ถ้าตัวแปรมีการเปลี่ยนแปลงให้ตัดตัวแปรนั้นทิ้งไป ดังรูปที่ 10.13

รูปที่ 10.12 แสดงค่าตัวแปรในพื้นที่ของแผนผังคาร์โนห์

ตัวอย่างที่ 10.4 จงลดรูปฟังก์ชั่นต่อไปนี้โดยใช้แผนผังคาร์โนห์
ก) f(A,B) =

ข) f(A,B) =

ค) f(A,B) =

วิธีทำ ก) ใส่ลอจิก “1” ลงในช่องของตาราง K-map สำหรับแต่ละเทอมตามที่โจทย์กำหนดแล้วทำการวงรอบ ได้ดังนี้

รูปที่ 10.13 แผนผังคาร์โนห์ ตัวอย่างที่ 10.4 (ก)
f(A,B) =

ข) ใส่ลอจิก “1” ลงในช่องของแผนผังคาร์โนห์ สำหรับแต่ละเทอมตามที่โจทย์กำหนด
แล้วทำการวงรอบ ได้ดังนี้

รูปที่ 10.14 แผนผังคาร์โนห์ ตัวอย่างที่ 10.4 (ข)

f(A,B) =

ค) ใส่ลอจิก “0” ลงในช่องของแผนผังคาร์โนห์ สำหรับแต่ละเทอมตามที่โจทย์กำหนด

รูปที่ 10.15 แผนผังคาร์โนห์ ตัวอย่างที่ 10.4 (ค)

f(A,B) =

                                           =    B
ตัวอย่างที่ 10.5        จงลดรูปฟังก์ชั่นต่อไปนี้โดยใช้แผนผังคาร์โนห์
                     f(A,B,C) =

วิธีทำ
ใส่ลอจิก “1” ลงในช่องของแผนผังคาร์โนห์ สำหรับแต่ละเทอมตามที่โจทย์กำหนด แล้วทำการ วงรอบ ได้ดังนี้

รูปที่ 10.16 แผนผังคาร์โนห์ ตัวอย่างที่ 10.5
f(A,B,C) =

ตัวอย่างที่ 10.6 จงลดรูปฟังก์ชั่นต่อไปนี้โดยใช้แผนผังคาร์โนห์
ก) f(A,B,C) = Sm(1,3,6,7)
ข) f(A,B,C) = pM(0,1,2,3,4)

วิธีทำ

ก) นำค่าตามที่โจทย์กำหนดมาใส่ลงในแผนผังคาร์โนห์แล้วทำการวงรอบได้ดังนี้

รูปที่ 10.17 แผนผังคาร์โนห์ ตัวอย่างที่ 10.6 (ก)
f(A,B,C) = Sm(1,3,6,7)
=

ข) นำค่าตามที่โจทย์กำหนดมาใส่ลงในแผนผังคาร์โนห์ แล้วทำการวงรอบได้ดังนี้

รูปที่ 10.18 แผนผังคาร์โนห์ ตัวอย่างที่ 10.6 (ข)
f(A,B,C) = pM(0,1,2,3,4)
=

ตัวอย่างที่ 10.7 จงลดรูปฟังก์ชั่นต่อไปนี้โดยใช้แผนผังคาร์โนห์
f(A,B,C,D) =

ใส่ลอจิก “1” ลงในช่องของแผนผังคาร์โนห์ สำหรับแต่ละเทอมตามที่โจทย์กำหนด แล้วทำการวงรอบ ได้ดังนี้

รูปที่ 10.19 แผนผังคาร์โนห์ ตัวอย่างที่ 10.7
f(A,B,C,D) =

ตัวอย่างที่ 10.8 จงลดรูปฟังก์ชั่นต่อไปนี้โดยใช้ แผนผังคาร์โนห์
f(A,B,C) = pM(1,3,5,7,8,10,12,14)

นำค่าตามที่โจทย์กำหนดมาใส่ลงในแผนผังคาร์โนห์ แล้วทำการวงรอบ ได้ดังนี้

รูปที่ 10.20 แผนผังคาร์โนห์ ตัวอย่างที่ 10.8

f(A,B,C) = pM(1,3,5,7,8,10,12,14)

ตัวอย่างที่ 10.9 จงเขียนสมการและวงจรลอจิกจากตารางความจริงต่อไปนี้

ตารางที่ 10.4 ตารางความจริงตัวอย่างที่ 10.9

อินพุต	เอาต์พุต
A	B	C	D	Y
0	0	0	0	0
0	0	0	1	1
0	0	1	0	0
0	0	1	1	1
0	1	0	0	0
0	1	0	1	1
0	1	1	0	0
0	1	1	1	1
1	0	0	0	1
1	0	0	1	1
1	0	1	0	1
1	0	1	1	1
1	1	0	0	0
1	1	0	1	0
1	1	1	0	0
1	1	1	1	0

วิธีทำ
นำค่าของตารางความจริงใส่ลงในตารางของแผนผังคาร์โนห์ แล้วทำการวงรอบได้ดังนี้

รูปที่ 10.21 แผนผังคาร์โนห์ ตัวอย่างที่ 10.9

จะได้สมการ Y =

ได้วงจรลอจิก

รูปที่ 10.22 วงจรตัวอย่างที่10.9

1.3.2 สภาวะไม่สนใจ (Don’t care Condition)
ในบางครั้งการออกแบบวงจรลอจิกอาจมีเงื่อนไขที่ไม่สนใจสภาวะที่เอาต์พุตเมื่ออินพุตมีค่าใดค่าหนึ่งดังตัวอย่างที่ 10.10
ตัวอย่างที่ 10.10 จงออกแบบวงจรให้ได้เอาต์พุตตามตารางความจริงต่อไปนี้

ตารางที่ 10.5 ตารางความจริงตัวอย่างที่ 10.10

อินพุต	เอาต์พุต
A	B	C	D	Y
0	0	0	0	1
0	0	0	1	0
0	0	1	0	1
0	0	1	1	0
0	1	0	0	1
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	0	1	0

วิธีทำ
ค่าของอินพุตมีค่าตั้งแต่ 0000 ถึง 1001 เนื่องจากมีตัวแปรทั้งหมด 4 ตัว จะต้องใช้ แผนผัง คาร์โนห์ที่มี 16 ช่อง เมื่อนำค่าจากตารางความจริงมาใส่ลงใน แผนผังคาร์โนห์จะใส่ได้เพียง 10 ช่อง คือตั้งแต่ 0000 ถึง 1001 ช่องที่เหลือตั้งแต่ 1010 ถึง 1111 จะใส่เครื่องหมาย X หมายถึงเป็นสภาวะที่ไม่ สนใจ ในบางครั้งอาจสมมุติให้ช่องที่ใส่เครื่องหมาย X เป็น “1” หรือ “0” เพื่อช่วยในการวงรอบหรือจับคู่ร่วมกับช่องอื่น ๆ เพื่อให้การวงรอบได้จำนวนช่องมากที่สุด ดังนั้นเมื่อนำค่าที่ได้จากสมการมาใส่ลงในแผนผังคาร์โนห์แล้วทำการวงรอบได้ดังรูปที่ 10.23

จากตารางความจริงเมื่อพิจารณาในรูปของมินเทอมจะได้

Y =

รูปที่ 10.23 แผนผังคาร์โนห์ ตัวอย่างที่ 10.10

จากตาราง K-map สมมุติให้ Y ในช่องที่อินพุตมีค่าเป็น 1010 ,1100 และ 1110 มีค่าเป็น “1” เพื่อช่วยในการวงรอบให้สามารถวงรอบได้จำนวน 8 ช่อง ส่วน X ในช่องที่อินพุตมีค่าเป็น 1011, 1101และ 1111 จะสมมุติให้เป็น “0” ไม่นำมาใช้ร่วมในการวงรอบ

ได้สมการ

Y =