ชุดE-LEARNING วิชาระบบดิจิตอล: ระบบตัวเลขที่รู้จักและใช้กันอยู่ในชีวิตประจำวัน

ระบบตัวเลขที่รู้จักและใช้กันอยู่ในชีวิตประจำวัน
ระบบตัวเลขที่รู้จักและใช้กันอยู่ในชีวิตประจำวัน คือ เลขฐานสิบ (Decimal Number) ในระบบดิจิตอลยังมีตัวเลขที่สำคัญที่ควรรู้จัก คือ เลขฐานสอง (Binary Number) เลขฐานแปด ( Octal Number) และเลขฐานสิบหก ( Hexadicimal Number) แสดงตัวเลขของระบบเลขฐานต่างๆ ดังตารางที่ 6.1

ตารางที่ 1 แสดงตัวเลขของเลขฐานสอง ฐานแปด ฐานสิบ และฐานสิบหก

เลขฐาน	ตัวเลขพื้นฐาน
ฐานสอง ฐานแปด ฐานสิบ ฐานสิบหก	0, 1 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

1 ระบบเลขฐานสิบ
ระบบเลขฐานสิบ เป็นระบบตัวเลขที่ใช้ในชีวิตประจำวัน ประกอบด้วยตัวเลข 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9
การนับเลขในระบบเลขฐานสิบ หลักหน่วยจะเริ่มจาก 0 ถึง 9 และเพิ่มเป็นสองหลัก โดยเพิ่มหลัก ซ้ายมือด้วยเลข 1 ดังตารางที่ 6.2
2 ระบบเลขฐานสอง
ระบบเลขฐานสอง เป็นระบบตัวเลขที่เหมาะสมกับการทำงานในระบบดิจิตอล และคอมพิวเตอร์ เลขฐานสองประกอบด้วยตัวเลข 2 ตัว คือ 0 และ 1 ซึ่งตัวเลขแต่ละตัวจะเรียกว่า บิต (bit) ซึ่งย่อมาจาก Binary Digit
การนับเลขในระบบเลขฐานสอง หลักหน่วยจะเริ่มจาก 0 ถึง 1 และเพิ่มขึ้นเป็น สองหลัก โดยเพิ่มหลักซ้ายมือด้วยเลข 1 ดังตารางที่ 2

ตารางที่ 2 ตารางแสดงการนับแบบเรียงลำดับของเลขฐานสอง, แปด, สิบ และสิบหก

เลขฐานสอง (Binary)	เลขฐานแปด (Octal)	เลขฐานสิบ (Decimal)	เลขฐานสิบหก (Hexadecimal)
0	0	0	0
1	1	1	1
10	2	2	2
11	3	3	3
100	4	4	4
101	5	5	5
110	6	6	6
111	7	7	7
1000	10	8	8
1001	11	9	9
1010	12	10	A
1011	13	11	B
1100	14	12	C
1101	15	13	D
1110	16	14	E
1111	17	15	F
10000	20	16	10

3 ระบบเลขฐานแปด
ระบบเลขฐานแปด เป็นระบบตัวเลขที่มักใช้ในระบบคอมพิวเตอร์ ตัวเลขในระบบเลขฐานแปด ประกอบด้วยตัวเลข 8 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7
การนับเลขในระบบเลขฐานแปด หลักหน่วยจะเริ่มจาก 0 ถึง 7 และเพิ่มขึ้นเป็น สองหลัก โดยเพิ่มหลักซ้ายมือด้วยเลข 1 ดังตารางที่ 6.2
4 ระบบเลขฐานสิบหก
ระบบเลขฐานสิบหก เป็นระบบตัวเลขที่ใช้ในงานคอมพิวเตอร์ปัจจุบัน ประกอบด้วยตัวเลข 16 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E และ F
การนับเลขในระบบเลขฐานสิบหก หลักหน่วยจะเริ่มจาก 0 ถึง F และเพิ่มขึ้นเป็น สองหลัก โดยเพิ่มหลักซ้ายมือด้วยเลข 1 ดังตารางที่ 6.2
5 การเปลี่ยนฐานของระบบตัวเลข (Converting Number System)
ในระบบตัวเลขที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้นสามารถเปลี่ยนฐานของระบบตัวเลขไปมาระหว่างกันได้ เช่น การเปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง การเปลี่ยนเลขฐานสองเป็นฐานสิบ หรือฐานแปด หรือฐานสิบหก เป็นต้น

5.1 การเปลี่ยนเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบ

การเปลี่ยนเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบ สามารถหาได้โดยใช้สูตรหรือโดยการคูณ แต่ละตัวเลข ของเลขฐานสองด้วยน้ำหนักที่ตำแหน่งนั้น แล้วนำผลที่ได้มารวมกันจากสูตร

N = d_n  Rⁿ +…+ d₃R³ + d₂R² + d₁R¹ + d₀R⁰
N   =   … + 8d₃ + 4d₂ + 2d₁ + 1d₀
เมื่อ N = เลขฐานสิบ
                         R   = ค่าเลขฐาน
        d₃, d₂, d₁, d₀ มีค่าเป็น 0 หรือ 1
ดังนั้นการเปลี่ยนเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบ ทำได้โดย บวกค่าประจำตำแหน่งของแต่ละตำแหน่งตรงเลขฐานสองที่มีค่าเป็น 1 เท่านั้น
ตัวอย่างที่ 1 จงเปลี่ยนเลขฐานสองต่อไปนี้เป็นเลขฐานสิบ
ก)    10111                            ข)    1101101
วิธีทำ
ก)      (10111)₂     =      (1  2⁴) + (0  2³) + (1  2²) + (1  2¹) + (1  2⁰)
=      16 + 0 + 4 + 2 + 1
=      (23)₁₀
ข)      (1101101)₂=      (1  2⁶) + (1  2⁵) + (0  2⁴) + (1  2³) + (1  2²) + (0  2¹) +(1  2⁰)
=       64 + 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1
=       (109)₁₀
ถ้าหากเลขฐานสองเป็นเลขทศนิยม สามารถเปลี่ยนเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบ ได้จากสูตร
N     =     d₁R^-1+ d₂R^-2 + d₃R^-3 + d₄R^-4 +….+ d_nR^-n
ตัวอย่างที่ 2      จงเปลี่ยนเลขฐานสองต่อไปนี้เป็นเลขฐานสิบ
ก)    0.101101
ข)    0.01101
วิธีทำ
ก)      (0.101101)₂        = (1  2^-1) + (0  2^-2) + (1  2^-3) + (1  2^-4) + (0  2^-5) + (1  2^-6)
=   0.5 + 0 + 0.125 + 0.0625 + 0 + 0.01525
=    (0.703125)₁₀
ข)      (0.01101)₂           =    (0  2^-1) + (1  2^-2) + (1  2^-3) + (0  2^-4) + (1  2^-5)
=    0 + 0.25+ 0.125 + 0 + 0.03125
=    (0.40625)₁₀
ตัวอย่างที่ 3      จงเปลี่ยนเลขฐานสอง 11101.0111 ให้เป็นเลขฐานสิบ
วิธีทำ
(11101.0111)₂ =    (1  2⁴) + (1  2³) + (1  2²) + (0  2¹) + (12⁰) +(0  2^-1)
+(1  2^-2) + (1  2^-3) + (1  2^-4)
                                     =    16+8+4+0+1+0.25+0.125+0.0625
                                    =    (29.4375)₁₀
การเปลี่ยนเลขฐานสองเป็นฐานสิบ ทั้งจำนวนเต็มและทศนิยมสามารถเขียนอยู่ในรูปของเลขยกกำลังของเลข 2 ของหลักนั้นๆ ดังตารางที่ 6.3

ตารางที่ 6.3 ตารางแสดงค่าเลขยกกำลังของเลข 2

2⁸	2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰	2^-1	2^-2	2^-3	2^-4	2^-5
256	128	64	32	16	8	4	2	1	0.5	0.25	0.125	0.0125	0.0312

ตัวอย่างที่ 4 จงเปลี่ยนเลขฐานสองต่อไปนี้ ให้เป็นเลขฐานสิบ
ก) 1011.101
ข) 11010.1101

วิธีทำ

2⁴	2³	2²	2¹	2⁰	2^-1	2^-2	2^-3	2^-4	เลขยกกำลังของเลข 2
16	8	4	2	1	0.5	0.25	0.125	0.0625	ค่าของเลขฐานสิบ
	1	0	1	1	1	0	1		8+2+1+0.5+0.125=11.625
1	1	0	1	0	1	1	0	1	16+8+2+0.5+0.25+0.0625= 26.8125

2 การเปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นฐานสอง
การเปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง ทำได้โดยการเอาเลขฐานสิบตั้งแล้วหารด้วย 2 เก็บเศษที่เหลือจากการหารไว้ (ซึ่งมีเพียงเลข 1 กับเลข 0 เท่านั้น) การหารให้หารไปจนกว่าผลลัพธ์จะเป็นเลข 0
การอ่านเลขฐานสองที่จะได้จากการหาร จะอ่านจากเศษตัวสุดท้ายเป็นหลักที่มีความสำคัญมากที่สุด (Most Significant Digit : MSD) และเศษตัวแรกเป็นหลักที่มีความสำคัญน้อยสุด (Least Significant Digit : LSD)
ตัวอย่างที่ 5 จงเปลี่ยน (24)₁₀ เป็นเลขฐานสอง
วิธีทำ

ดังนั้้น …… (24)₁₀ = (11000)₂

เราสามารถตรวจเช็คคำตอบได้โดยการเปลี่ยนเลขฐานสองกลับมาเป็นเลขฐานสิบ

(11000)₂ = (1  2⁴) + (1  2³) + (0  2²) + (0  2¹) + (0  2⁰)

= 16 + 8 + 0 + 0 + 0

= (24)₁₀

ตัวอย่างที่ 6 จงเปลี่ยน (37)₁₀ เป็นเลขฐานสอง
วิธีทำ

ดังนั้น …… (37)₁₀ = (100101)₂

ตัวอย่างที่ 7 จงเปลี่ยน (355)₁₀ เป็นเลขฐานสอง
วิธีทำ

ดังนั้น …… (355)₁₀ = (101100011)₂

3 การเปลี่ยนทศนิยมเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง
การเปลี่ยนทศนิยมฐานสิบเป็นฐานสองนั้น ให้เอาทศนิยมฐานสิบตั้งแล้วเอา 2 คูณ ตัวทดที่ได้ (หน้าจุดทศนิยม) ซึ่งเป็นเลข 0 หรือ 1 คือ เลขฐานสอง การคูณจะคูณไปเรื่อยๆ จนผลลัพธ์มี ทศนิยมเป็น .0000
ตัวอย่างที่ 8 จงเปลี่ยน (0.5625)₁₀ เป็นเลขฐานสอง
วิธีทำ